橫截面為圓形的直桿受扭時的應力，需要綜合研究幾何、物理和靜力等三方面的關系。以下是我們研究的一個思路。
確定橫截面上切應力的方法與過程
在軸表面作圓周線和縱向線，在扭轉力偶矩作用下，圓周線長度形狀不變，各圓周線間距離不變，只是繞軸線轉了一個微小角度；縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個微小角度。變形如圖所示。
圓軸扭轉的平面假設：圓軸扭轉變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持平面，形狀和大小不變，半徑仍保持直線，且相鄰兩截面間的距離不變。
這里需要注意，一定要在線彈性范圍內。接下來研究用到了切變模量、切應力互等定理、剪切胡克定律等知識。
1、變形協調方程推導應變、應力分布規律
設到軸線任意遠ρ 處的剪應變為γ(ρ)，則有如下幾何關系：
式中，dφ/dx 為扭轉角沿長度方向變化率。
距圓心為ρ 任一點處的γρ、τρ 與到圓心的距離ρ 成正比。
2、物性關系——剪力胡克定律
至此，我們已經求出了切應力的表達式，但是扭轉角沿長度方向的變化率還不知道。這就需要靜力學方程來解決了。
微分面積：
dA 上的微內力對圓心的力矩：
對上式進行積分（扭矩定義）：
橫截面上的扭矩應與截面一側的外力偶距相平衡
我們引入一個極慣性矩
式中，Ip 為橫截面對形心的極慣性矩（截面二次極矩，單位為m4）。
在圓截面邊緣上有最大切應力：
令
抗扭截面系數（單位：m3）
公式適用條件：
圓桿；
τmax≤τp。
其中極慣性矩和抗扭截面系數，在實心軸與非實心軸中的計算是不一樣的。
在實心軸的情況下：
其中，D 為圓截面直徑。
以上就是完整的求圓軸扭轉時的應力的方法和過程了！
| |
